https://www.youtube.com/watch?v=-tTD8XU2s2I Assistam esse vídeo!!! muito interessante :)
Com
a contribuição de Malba Tahan e José Cássio Firlardi selecionamos um texto que
aborda uma curiosidade muito boa sobre as operações.
Adaptado
do livro ”O homem que calculava.” De autoria do grande brasileiro Malba Tahan.
O
problema dos quatro números é o seguinte: Escrever, com quatro quatros e alguns
sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na
expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo, letra
ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: logaritmo, limite, etc.
Podem, entretanto ser utilizados os símbolos de fatorial, (termial) e raiz
quadrada. No enunciado original de Malba Tahan, o termial não é citado.
Afirmam
os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os
números naturais de 0 a 100 e isto é verdadeiro, conforme demonstra a tabela
abaixo.
Todos
os números foram escritos utilizando as quatro operações fundamentais, raiz
quadrada, fatorial e o termial.
Sobre
o fatorial de um número natural, já sabemos que:
n!=
n (n-1)(n-2)(n-3)... 2.1, para n maior ou igual a 2.
Exemplo:
5!= 5,4,3,2,1= 120
Sobre
os termial, recebemos uma contribuição do visitante José Filardi, a qual
reproduzirmos a seguir:”Professor: A função termial é bastante conhecida. Só
não é comum o uso de um símbolo específico. De maneira semelhante ao fatorial,
pode-se representa-la através de um somatório, ou seja: n?= 1+2+3+4+...+a, para
maior ou igual a 2.
Exemplo:
7?= 7+6+5+4+3+2+1=28
A
denominação termial deriva da expressão em inglês: “termial function”. Vide o livro- The art of computer programming, segunda
edição, vol 1/ fundamental Algorithms, Donald E. Knuth- Standford University-
Addison Wesley publishing company.
Então,
com as informações do Filardi e outras, nem tanto, construímos esta tabela
resumo:
N.º
|
Solução
|
N.º
|
Solução
|
N.º
|
Solução
|
0
|
44 – 44
|
35
|
4! +
(44/4)
|
69
|
(4!/4)?
+ 4! + 4!
|
1
|
44/44
|
36
|
4! + 4
+ 4 + 4
|
70
|
(4!+44)
/ 4
|
2
|
4/4 +
4/4
|
37
|
(4?)?-
(4? +4+4)
|
71
|
(4?)? +
4? + (4! / 4)
|
3
|
(4+4+4)/4
|
38
|
44 – 4
- Ö4
|
72
|
(4!Ö4) / (4+4)
|
4
|
4 +
(4-4)/4
|
39
|
4.4? -
(4/4)
|
73
|
(4?)? +
4! - (4! / 4)
|
5
|
(4.4 +
4)/4
|
40
|
44 – (Ö4)Ö4
|
74
|
(44 /
4) + 4?
|
6
|
(4+4)/4
+ 4
|
41
|
4.4? +
(4/4)
|
75
|
(4?)? +
(4.4) + 4
|
7
|
(44/4)
– 4
|
42
|
44 + Ö4 – 4
|
76
|
4.4! -
(4? + 4?)
|
8
|
4+4+4 –
4
|
43
|
44 -
(4/4)
|
77
|
[(4!)?
+ 4 + 4] / 4
|
9
|
4+4 +
(4/4)
|
44
|
44 + 4
– 4
|
78
|
44 + 4!
+ 4?
|
10
|
(44 –
4)/4
|
45
|
44 +
(4/4)
|
79
|
(4?)? -
4 + 4! + 4
|
11
|
4? + 44
– 4
|
46
|
44 - Ö4 + 4
|
80
|
(4.4 +
4).4
|
12
|
(44+4)/4
|
47
|
4! + 4!
- (4/4)
|
81
|
(4?)? +
(4.4) + 4?
|
13
|
4! –
(44/4)
|
48
|
(Ö4)Ö 4 + 44
|
82
|
4.4! -
(4? + 4)
|
14
|
4+4+4+Ö4
|
49
|
4! + 4!
+ 4/4
|
83
|
[(4!)?
/ 4] + (4 + 4)
|
15
|
44/4 +
4
|
50
|
44 + Ö4 + 4
|
84
|
(4! –
4).4 + 4
|
16
|
(Ö4)4 + 4 – 4
|
51
|
(4?)? -
(4.4) / 4
|
85
|
(4?)? +
4! + (4!/4)
|
17
|
4!-(4!+4)/4
|
52
|
4!.4 –
44
|
86
|
(4?)? +
(4!/4)? + 4?
|
18
|
(4! +
4! + 4!)/4
|
53
|
(4?)? -
[(4 + 4)] / 4
|
87
|
4! +
(4?)? + 4 + 4
|
19
|
4!-4-(4/4)
|
54
|
(44 / 4) - 4?
|
88
|
44 + 44
|
20
|
(4? +
4?).(4/4)
|
55
|
(4?)? .
44 – 4
|
89
|
(4?)? +
44 - 4?
|
21
|
4!-4-(4/4)
|
56
|
4! + 4!
+ 4 + 4
|
90
|
4.4! -
(4!/4)
|
22
|
(44/4).Ö4
|
57
|
(4?)? +
[(4+4) / 4]
|
91
|
(4?)? +
[4.(4?)] - 4
|
23
|
4!-4(4-4)
|
58
|
(4?)? +
[4 - (4/4)]
|
92
|
44 + 4!
+ 4!
|
24
|
(Ö4)4 + 4 + 4
|
59
|
(4?)? +
(4.4) / 4
|
93
|
(4?)? +
4! + 4! - 4?
|
25
|
4! + 4(4-4)
|
60
|
4Ö4 .4 – 4
|
94
|
4.(4!/4)?
+ 4?
|
26
|
(44/Ö4) + 4
|
61
|
(4!/4)?
+ 4.4?
|
95
|
4!.4 –
4/4
|
27
|
4!+4-(4/4)
|
62
|
4! + 4!
+ 4? + 4
|
96
|
4!.4 +
4 – 4
|
28
|
(4!/4).4
+ 4
|
63
|
(44 –
4)/4
|
97
|
4!.4+4/4
|
29
|
4! + 4
+ (4/4)
|
64
|
4(4
- Ö4) . 4
|
98
|
{[(4!)?
- 4]/4} + 4!
|
30
|
(4!.4 +
4!)/4
|
65
|
(4 + 44)
/ 4
|
99
|
(4?)? +
4.4? + 4
|
31
|
{(4+Ö4)!+4!}/4!
|
66
|
(4?)? +
4? + (4/4)
|
100
|
(4! +
4/4).4
|
32
|
(4.4) +
(4.4)
|
67
|
4 + 4 +
4 + (4?)?
|
|
|
33
|
(4! +
4?) - (4/4)
|
68
|
44/4
+ 4
|
|
|
34
|
4!+4+4+Ö4
|
69
|
(4! /4)? + 4! + 4!
|
|
|